একজন প্যারাসুট আরোহী মুক্ত হয়ে বাধাহীনভাবে 50m নিচে পতিত হয়েছে। যখন প্যারাসুটটি খুলেছে তখন গতি হ্রাসের হার হল $2 m{s}^{-2}$ এবং সে $3m{s}^{-1 }$গতিতে মাটিতে এসে পৌঁছেছে। কত উচ্চতায় সে মুক্ত হয়েছিল?

এই সমস্যাটির সমাধান করতে আমরা গতি এবং ত্বরণের ভিত্তিতে উচ্চতা নির্ধারণ করতে পারি।

**তথ্য:**

- মুক্ত পতন থেকে প্যারাসুট খুলেছে এমন সময়ের উচ্চতা \( h \)।
- প্যারাসুট খুলার পর ত্বরণ \( a = -2 \, \text{m/s}^2 \) (যেহেতু গতি হ্রাস পাচ্ছে)।
- মাটিতে পৌঁছানোর গতি \( v = 3 \, \text{m/s} \)।
- মুক্ত পতন করার দূরত্ব \( d = 50 \, \text{m} \)।

### সমাধান:

1. **মুক্ত পতন সময়ে অর্জিত গতি নির্ণয় করা:**

  আমরা জানি মুক্ত পতনের ত্বরণ হচ্ছে \( g = 9.8 \, \text{m/s}^2 \)। মুক্ত পতনের গতি নির্ণয় করতে আমরা ব্যবহার করতে পারিঃ

  \[ v^2 = u^2 + 2gh \]

এখানে u=0 (মুক্ত পতনের শুরুতে গতি নেই), v=গতি যখন প্যারাসুট খুলেছে, h=50m।

  মুক্ত পতনের গতি হবে:

  \[ v^2 = 2gh \]

  \[ v = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 50} \]

  \[ v = \sqrt{980} \approx 31.3 \, \text{m/s} \]

  এখানে, \( v \) হচ্ছে প্যারাসুট খোলার সময়ের গতি।

2. **প্যারাসুট খোলার পরে উচ্চতা নির্ধারণ করা:**

  প্যারাসুট খোলার পরে, গতি হ্রাসের হার \( a = -2 \, \text{m/s}^2 \) এবং নীচে এসে পৌঁছানোর গতি \( v = 3 \, \text{m/s} \)। এখন আমরা উচ্চতা নির্ধারণ করতে পারিঃ

  \[ v^2 = u^2 + 2as \]

  এখানে \( u \) হল প্যারাসুট খোলার সময়ের গতি, \( v = 3 \, \text{m/s} \), \( a = -2 \, \text{m/s}^2 \), \( s \) হচ্ছে প্যারাসুট খোলার পরে পতনের উচ্চতা।

  \[ (3)^2 = (31.3)^2 + 2(-2)s \]

  \[ 9 = 979.69 - 4s \]

  \[ 4s = 979.69 - 9 \]

  \[ 4s = 970.69 \]

  \[ s = \frac{970.69}{4} \approx 242.7 \, \text{m} \]

  প্যারাসুট খোলার পর পতনের উচ্চতা প্রায় 242.7 মিটার।

3. **মোট উচ্চতা নির্ধারণ:**

  মুক্ত পতনের উচ্চতা \( h_1 = 50 \, \text{m} \) এবং প্যারাসুট খোলার পরে পতনের উচ্চতা \( h_2 \approx 242.7 \, \text{m} \)।

  মোট উচ্চতা \( H \) হবে:

  \[ H = h_1 + h_2 \]

  \[ H = 50 + 242.7 \]

  \[ H \approx 292.7 \, \text{m} \]

অতএব, প্যারাসুট আরোহী মুক্ত হয়েছিল প্রায় 292.7 মিটার উচ্চতা থেকে।